Der gebürtige Moskauer wechselte 1982 zur zweiten Mannschaft von Spartak Moskau. Im Zuge des Militärdienstes wurde er für einige Zeit zu Chabarowsk transferiert. Zurück bei Spartak gewann der mit dem Klub 1989 die sowjetische Meisterschaft. Iwanow bekam aber Alkoholprobleme und wechselte für kurze Zeit zu Lanchuti, Zurück bei Spartak gewann er in den Jahren 1992, 1993 und 1994 abermals den Meistertitel, sowie 1992 und 1994 auch den russischen Pokalbewerb. In dieser Zeit wurde er auch in die russische Nationalmannschaft berufen und qualifizierte sich für die Europameisterschaft 1992.
Im Europacup kam er mit Spartak 1993 bis ins Halbfinale, wo bei Royal Antwerpen allerdings Endstation war. Wiederum verließ er Spartak für kurze Zeit und wechselte zum Lokalrivalen Dynamo Moskau und wiederholte dies kurze Zeit später, diesmal schloss er sich ZSKA Moskau an.
Im Winter 1996/97 holte ihn der FC Tirol nach Österreich. Immer wieder aber holten ihn seine Probleme mit dem Alkohol ein. Im Sommer 1997 übersiedelte er nach Deutschland zu Greuther  Fürth wo auch sein Freund Tschernischov tätig war. Über ein kurzes Engagement in Portugal kehrte er im Jahr 2000 nach Moskau zum Viertligisten FC Nika zurück.
Privat sacke Iwanow aufgrund seiner Alkoholprobleme immer weiter ab. Seine Frau reichte die Scheidung ein und nach einer Krankheit verlor er auch noch seine Arbeitsstelle. Am 19.5.2009 verstarb Andrej Iwanow an den Folgen des Alkoholismus. R.i.P.