Baur durchlief ab seinem 5.Lebensjahr die Nachwuchsmannschaften des SVI, nur ein Jahr war er an den IAC verliehen und wurde mit dem violetten Nachwuchs Tiroler Juniorenmeister. Im Herbst 1988 klopfte der FC Swarovski Tirol an und Baur übersiedelte ins Unter-21-Team des Bundesligavereins, wo er sich gleich beim ersten Spiel verletzte. Ein Jahr später wurde er aber bereits in den Kader der Kampfmannschaft aufgenommen und kam meist im Mittelfeld zum Einsatz. Schnell spielte er sich in die Anfangself und sein erstes Tor erzielte er im Europacup gegen Omonia Nikosia. Das Heimspiel wurde zwar ohnehin 6:0 gewonnen, auswärts lag man 0:2 im Rückstand, als Baur traf und damit die Aufholjagd einleitete, die Tiroler gewannen noch mit 3:2.
Mit Swarovski Tirol wurde Baur 2x Meister und einmal Pokalsieger. 1992 wurde man zwar nur Dritter aber punktegleich mit Meister Austria Wien und den zweitplatzierten Salzburgern. Mit Wacker Innsbruck gelang 1993 noch der Pokalsieg (Tor zum 3:1 gegen Rapid in der 91.Minute), ehe unter dem Namen FC Tirol eine schwächere Phase der Mannschaft folgte, Baur mittlerweile am Liberoposten gelandet, erlebt sowohl die "Dream-Team-Phase" unter Hans Krankl wie auch die "Piefke-Saga" mit Didi Constantini mit. Im Winter 1996/97 wechselte er nach Japan zu den Urawa Red Diamonds.
In Japan war man zwar sehr freundlich und der Verein unterstütze ihn, aber die Familie lebte dort sehr isoliert, da kaum jemand englisch sprach. Dazu kam die Smog-Belastung, daher entschloß sich Familie Baur im Sommer 1997 zur Rückkehr nach Österreich.
In Innsbruck blieb bis zum Konkurs. Mit dem FC Tirol feierte vor dem Konkurs noch den Titelhattrick von 2000 bis 2002, wobei er beim 2:1-Sieg gegen die Austria im Mai 2000 das Siegestor erzielte und so die Innsbruck zum Titel schoss.
Nach dem Konkurs folgte er Ex-Trainer Kurt Jara nach Hamburg und kehrte nach einem nicht sehr erfolgreichen Jahr in Deutschland (er spielte lediglich 10 Bundesligaspiele) nach Österreich zurück und spielte noch 4 Jahre bei Pasching und 2 Jahre beim LASK in der Bundesliga ehe er seine große Karriere beendete.

Für das österreichische Nationalteam bestritt er in der Zeit von 1990 bis 2002 40 Spiele und erzielte 5 Tore. Sein Debüt feierte er bei 3:2 Sieg gegen Holland, wo er zur Pause eingewechselt wurde. Bei der WM 1990 war er mit im Kader, kam aber nicht zum Einsatz und zur Zeit der WM 1998 hatte er mit dem FC Tirol nicht die beste Phase und rutschte nicht ins Aufgebot für Frankreich.